Как найти первообразную для f(x) = x · sin 2x?

Применить метод интегрирования по частям ∫ u dv = uv − ∫ v du. Выбираем u = x (полином понижается при дифференцировании) и dv = sin 2x dx (легко интегрируется до −(1/2)·cos 2x).

Почему v = −(1/2)·cos 2x, а не просто −cos 2x?

Потому что при интегрировании ∫ sin 2x dx получается −(1/2)·cos 2x. Проверка: производная от −(1/2)·cos 2x равна (1/2)·2·sin 2x = sin 2x. Множитель 1/2 появляется из-за коэффициента при x внутри синуса.

Почему C = 0 в этой задаче?

Из условия F(0) = 0. При x = 0: sin 0 = 0, поэтому F(0) = 0 − 0 + C = 0, откуда C = 0.

В каких случаях применяют интегрирование по частям?

Когда подынтегральное выражение содержит произведение разных типов функций: полином × экспонента, полином × тригонометрическая, экспонента × тригонометрическая, логарифм, обратная тригонометрическая. Классический признак: интеграл не берётся напрямую, но упрощается после применения формулы ∫ u dv = uv − ∫ v du.

Первообразная для f(x) = x · sin 2x

В этой задаче требуется найти первообразную F(x) для функции f(x) = x · sin 2x, удовлетворяющую условию F(0) = 0.

Условие

$f (x) = x \cdot sin 2 x, F (0) = 0$

Решение

Шаг 1

Подынтегральное выражение x · sin 2x представляет собой произведение полинома и тригонометрической функции. Такие интегралы берутся методом интегрирования по частям.

Шаг 2

Разобьём подынтегральное выражение x · sin 2x dx на две части: u = x и dv = sin 2x dx. Тогда du = dx, а v находим интегрированием dv: v = −(1/2)·cos 2x.

Почему выбран именно метод интегрирования по частям?

Подынтегральное выражение — произведение полинома (x) и тригонометрической функции (sin 2x). Ни подстановка, ни табличные формулы здесь не работают. Метод интегрирования по частям специально предназначен для таких интегралов. Идея: дифференцируя полином, мы понижаем его степень, и интеграл постепенно упрощается до табличного.

Почему u = x, а не u = sin 2x?

При интегрировании по частям в качестве u выбирают ту функцию, которая при дифференцировании упрощается. Если взять u = x, то du = dx — полином понижает степень. Если взять u = sin 2x, то du = 2cos 2x dx — тригонометрическая функция не упрощается, а остаётся такой же сложной. По правилу LIATE (логарифм, обратная тригонометрическая, алгебраическая, тригонометрическая, экспонента) полином стоит раньше тригонометрической функции, поэтому u = x.

Почему dv = sin 2x dx, а не просто sin 2x?

Формула интегрирования по частям: ∫ u dv = uv − ∫ v du. Здесь dv — дифференциал функции v, по определению dv = v′(x) dx. Без dx это не дифференциал, а функция. Произведение u · dv = x · sin 2x dx даёт исходное подынтегральное выражение.

u = x, d u = d x

d v = sin 2 x d x, v = - \frac{1}{2} cos 2 x

Шаг 3

Подставим в формулу интегрирования по частям:

\int x \cdot sin 2 x d x = - \frac{x \cdot cos 2 x}{2} + \frac{1}{2} \int cos 2 x d x

Шаг 4

Вычислим оставшийся интеграл ∫ cos 2x dx = (1/2)·sin 2x и получим общее выражение:

F (x) = - \frac{x \cdot cos 2 x}{2} + \frac{sin 2 x}{4} + C

Шаг 5

Найдём постоянную C из условия F(0) = 0. sin 0 = 0, поэтому:

F (0) = 0 + \frac{sin 0}{4} + C = 0

Шаг 6

Отсюда C = 0. Искомая первообразная имеет вид:

Ответ

$F (x) = - \frac{x \cdot cos 2 x}{2} + \frac{sin 2 x}{4}$