Как найти первообразную для f(x) = arcsin 2x?

Применить метод интегрирования по частям ∫ u dv = uv − ∫ v du. Выбираем u = arcsin 2x (обратная тригонометрическая функция, упрощается при дифференцировании) и dv = dx (то есть v = x).

Почему du = 2/√(1−4x²) dx?

По формуле производной сложной функции: (arcsin u)′ = u′/√(1−u²). Здесь u = 2x, поэтому u′ = 2, а (2x)² = 4x². Итого: du = 2/√(1−4x²) dx.

Как вычислить интеграл ∫ 2x/√(1−4x²) dx?

Заметим, что d(1−4x²) = −8x dx, значит 2x dx = −(1/4) d(1−4x²). Тогда интеграл принимает вид −(1/4) ∫ dt/√t, где t = 1−4x². Табличный интеграл ∫ dt/√t = 2√t. Итого получаем −(1/2)·√(1−4x²).

Почему C = −1/2 в этой задаче?

Из условия F(0) = 0. При x = 0: arcsin 0 = 0, √(1−0) = 1, поэтому F(0) = 0 + 1/2 + C = 0, откуда C = −1/2.

Первообразная для f(x) = arcsin 2x

В этой задаче требуется найти первообразную F(x) для функции f(x) = arcsin 2x, удовлетворяющую условию F(0) = 0.

Условие

$f (x) = arcsin 2 x, F (0) = 0$

Решение

Шаг 1

Подынтегральное выражение arcsin 2x представляет собой обратную тригонометрическую функцию. Такие интегралы берутся методом интегрирования по частям.

Шаг 2

Разобьём подынтегральное выражение arcsin 2x dx на две части: u = arcsin 2x и dv = dx. Тогда du = 2/√(1−4x²) dx, а v = x.

Почему выбран именно метод интегрирования по частям?

Подынтегральное выражение содержит обратную тригонометрическую функцию arcsin 2x, у которой нет табличной первообразной. Ни подстановка, ни табличные формулы здесь не работают. Метод интегрирования по частям специально предназначен для таких интегралов: дифференцируя arcsin 2x, мы получаем простую рациональную функцию с корнем, интеграл от которой берётся элементарно.

Почему u = arcsin 2x, а не u = 1?

При интегрировании по частям в качестве u выбирают ту функцию, которая при дифференцировании упрощается, а в качестве dv — то, что легко интегрируется. Если взять u = arcsin 2x, то du = 2/√(1−4x²) dx — корень, но зато оставшийся интеграл сводится к табличному ∫ du/√u. Если же взять u = 1 и dv = arcsin 2x dx, придётся сначала найти первообразную от arcsin 2x — то есть решить ту же задачу. По правилу LIATE (логарифм, обратная тригонометрическая, алгебраическая, тригонометрическая, экспонента) обратная тригонометрическая функция стоит раньше константы, поэтому u = arcsin 2x.

Почему dv = dx, а не просто 1?

Формула интегрирования по частям: ∫ u dv = uv − ∫ v du. Здесь dv — дифференциал функции v, по определению dv = v′(x) dx. В нашем случае dv = dx, поэтому v = x. Если взять «dv = 1» без dx, то произведение u · dv = arcsin 2x · 1 = arcsin 2x — без множителя dx, и это не будет дифференциалом.

u = arcsin 2 x, d u = \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x

d v = d x, v = x

Шаг 3

Подставим в формулу интегрирования по частям:

\int arcsin 2 x d x = x \cdot arcsin 2 x - \int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x

Шаг 4

Для вычисления оставшегося интеграла внесём множитель 2x под знак дифференциала. Заметим, что d(1−4x²) = −8x dx, поэтому 2x dx = −(1/4) d(1−4x²). Тогда интеграл сводится к табличному:

\int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x = - \frac{1}{4} \int \frac{d (1 - 4 x^{2})}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = - \frac{1}{2} \sqrt{1 - 4 x^{2}}

Шаг 5

Таким образом, общее выражение для первообразной:

F (x) = x \cdot arcsin 2 x + \frac{1}{2} \sqrt{1 - 4 x^{2}} + C

Шаг 6

Найдём постоянную C из условия F(0) = 0. При x = 0: arcsin 0 = 0, √(1−0) = 1, поэтому:

F (0) = 0 + \frac{1}{2} \sqrt{1} + C = 0

Шаг 7

Отсюда C = −1/2. Искомая первообразная имеет вид:

Ответ

$F (x) = x \cdot arcsin 2 x + \frac{1}{2} \sqrt{1 - 4 x^{2}} - \frac{1}{2}$