Определённый интеграл (2x²−1)/(x²−3x+2) от −1 до 0

В этой задаче требуется вычислить определённый интеграл от дробно-рациональной функции на отрезке [−1, 0].

Условие

$\int_{- 1}^{0} \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 3 x + 2} d x$

Решение

Шаг 1

Прежде всего заметим, что подынтегральная функция — неправильная рациональная дробь: степень числителя (2) равна степени знаменателя (2). Выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель:

Почему выделяем целую часть?

Рациональная дробь P(x)/Q(x) называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, и неправильной в противном случае. Для интегрирования удобно иметь правильную дробь — тогда её можно разложить на простейшие дроби. Если дробь неправильная, сначала выделяют целую часть (многочлен), а остаток превращают в правильную дробь.

\frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 3 x + 2} = 2 + \frac{6 x - 5}{x^{2} - 3 x + 2}

Шаг 2

Знаменатель раскладывается на множители: x² − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1). Правильную дробь разложим на простейшие:

Как разложить правильную дробь на простейшие?

Каждому линейному множителю (x − a) в знаменателе соответствует простейшая дробь вида A/(x − a). Если множитель повторяется k раз, ему соответствуют k дробей: A₁/(x − a) + A₂/(x − a)² + … + Aₖ/(x − a)ᵏ. В нашем случае знаменатель имеет два разных линейных множителя — (x − 2) и (x − 1), поэтому разложение имеет вид A/(x − 2) + B/(x − 1).

Как найти коэффициенты A и B?

Используется метод неопределённых коэффициентов. Приводим сумму простейших дробей к общему знаменателю и приравниваем числители. Получаем тождество A(x−1) + B(x−2) = 6x − 5. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему линейных уравнений относительно A и B. Решив её, находим A = 7, B = −1.

\frac{6 x - 5}{(x - 2) (x - 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 1}

Шаг 3

Раскроем скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x. Получим систему:

A (x - 1) + B (x - 2) = 6 x - 5

{\begin{matrix} A + B = 6 \\ - A - 2 B = - 5 \end{matrix}

Решая систему, находим: A = 7, B = −1.

Шаг 4

Подставим разложение в интеграл:

\int_{- 1}^{0} (2 + \frac{7}{x - 2} - \frac{1}{x - 1}) d x

Шаг 5

Интегрируем каждое слагаемое и применяем формулу Ньютона-Лейбница:

[_{- 1}^{0} 2 x + 7 ln | x - 2 | - ln | x - 1 |

Шаг 6

Подставляем пределы интегрирования. Получаем ответ.

Ответ

$2 - 7 ln 3 + 8 ln 2$

Частые вопросы

Как вычислить определённый интеграл от дробно-рациональной функции?

Нужно: (1) если дробь неправильная — выделить целую часть, (2) разложить знаменатель на множители, (3) разложить правильную дробь на простейшие, (4) найти коэффициенты методом неопределённых коэффициентов, (5) проинтегрировать каждое слагаемое, (6) подставить пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница.

Что такое метод неопределённых коэффициентов?

Это метод нахождения коэффициентов A, B, C… в разложении правильной дроби на простейшие. Идея: привести сумму простейших дробей к общему знаменателю, приравнять числители, а затем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x. Получается система линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов. Альтернатива — подставлять в тождество конкретные значения x (например, корни знаменателя), что часто быстрее.

Почему в ответе появляются логарифмы?

Потому что после разложения на простейшие мы получаем интегралы вида ∫ A/(x − a) dx = A ln|x − a| + C. Это стандартная ситуация при интегрировании дробно-рациональных функций с линейными множителями в знаменателе.

Что делать, если знаменатель имеет кратный корень?

Если линейный множитель (x − a) повторяется k раз, ему соответствует сумма k простейших дробей: A₁/(x − a) + A₂/(x − a)² + … + Aₖ/(x − a)ᵏ. Например, для (x − 2)² разложение имеет вид A/(x − 2) + B/(x − 2)². Это показано в следующей задаче.