Первообразная для f(x) = cos³ x

В этой задаче требуется найти первообразную F(x) для функции f(x) = cos³ x, удовлетворяющую условию F(π) = 0.

Условие

$f (x) = {cos}^{3} x, F (π) = 0$

Решение

Шаг 1

Представим cos³ x как произведение cos² x · cos x. Это позволит выделить множитель cos x, который является производной от sin x.

{cos}^{3} x = {cos}^{2} x \cdot cos x

Шаг 2

Заметим, что d(sin x) = cos x dx. Это позволяет внести cos x под знак дифференциала.

d (sin x) = cos x d x

Шаг 3

Перепишем исходный интеграл, выделив множитель cos² x и заменив cos x dx на d(sin x):

\int {cos}^{3} x d x = \int {cos}^{2} x d (sin x)

Шаг 4

Применим основное тригонометрическое тождество:

{cos}^{2} x = 1 - {sin}^{2} x

Шаг 5

Подставим это выражение в интеграл:

\int (1 - {sin}^{2} x) d (sin x)

Шаг 6

Интеграл распадается на два табличных: ∫ dt = t и ∫ t² dt = t³/3. Возвращаясь к переменной x, получаем:

sin x - \frac{{sin}^{3} x}{3} + C

Шаг 7

Найдём постоянную C из условия F(π) = 0. Подставим x = π: sin π = 0, поэтому:

sin π - \frac{{sin}^{3} π}{3} + C = 0

Шаг 8

Отсюда C = 0. Искомая первообразная имеет вид:

Ответ

$F (x) = sin x - \frac{{sin}^{3} x}{3}$

Частые вопросы

Как найти первообразную для f(x) = cos³ x?

Нужно представить cos³ x = cos² x · cos x, внести cos x под знак дифференциала (так как d(sin x) = cos x dx) и применить основное тригонометрическое тождество cos² x = 1 − sin² x. Тогда интеграл сводится к табличным.

Зачем нужно основное тригонометрическое тождество?

Оно позволяет перейти от cos² x к выражению через sin x: cos² x = 1 − sin² x. Это необходимо, чтобы после замены t = sin x интеграл содержал только переменную t и стал табличным.

Почему C = 0 в этой задаче?

Из условия F(π) = 0. При x = π: sin π = 0 и sin³ π = 0, поэтому оба слагаемых обращаются в ноль. Значит, C = 0.

В чём особенность интегрирования нечётных степеней косинуса?

Для нечётных степеней cos x (или sin x) используется приём: отделяем один множитель cos x (или sin x) и вносим его под дифференциал, а оставшуюся чётную степень выражаем через противоположную функцию с помощью основного тригонометрического тождества.