Определённый интеграл x/(2+√(2x+1)) от −1/2 до 0

В этой задаче требуется вычислить определённый интеграл от иррациональной функции на отрезке [−1/2, 0].

Условие

$\int_{- 1 / 2}^{0} \frac{x}{2 + \sqrt{2 x + 1}} d x$

Решение

Шаг 1

Подынтегральная функция содержит квадратный корень. Применим замену переменной t = √(2x+1). Тогда t² = 2x + 1, откуда x = (t²−1)/2 и dx = t dt:

Почему выбрана замена t = √(2x+1)?

Если подынтегральная функция содержит √(ax+b), то стандартная замена t = √(ax+b) устраняет иррациональность. После возведения в квадрат мы получаем t² = ax+b, откуда x выражается через t как рациональная функция, а dx = t dt также не содержит корней. В результате интеграл превращается в интеграл от рациональной функции, который берётся стандартными методами.

t = \sqrt{2 x + 1}, t^{2} = 2 x + 1, x = \frac{t^{2} - 1}{2}, d x = t d t

Шаг 2

Найдём новые пределы интегрирования:

x = - \frac{1}{2} \Rightarrow t = 0, x = 0 \Rightarrow t = 1

Шаг 3

Подставим замену в интеграл:

\int_{0}^{1} \frac{t^{2} - 1}{2} \cdot \frac{1}{2 + t} \cdot t d t

Шаг 4

Вынесем множитель 1/2 и приведём подынтегральную функцию к виду рациональной дроби:

Зачем делить многочлен на многочлен?

Подынтегральная функция имеет вид t(t²−1)/(t+2) — это рациональная дробь. Степень числителя (3) больше степени знаменателя (1), поэтому дробь неправильная. Чтобы её проинтегрировать, выделяем целую часть, разделив числитель на знаменатель: t(t²−1) = (t+2)(t²−2t+3) − 6. В результате интеграл распадается на сумму простых слагаемых и одну простейшую дробь 6/(t+2).

\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{t (t^{2} - 1)}{t + 2} d t

Шаг 5

Разделим числитель t(t²−1) = t³ − t на (t+2):

\frac{t (t^{2} - 1)}{t + 2} = t^{2} - 2 t + 3 - \frac{6}{t + 2}

Шаг 6

Подставим разложение в интеграл:

\frac{1}{2} \int_{0}^{1} (t^{2} - 2 t + 3 - \frac{6}{t + 2}) d t

Шаг 7

Интегрируем почленно: ∫ t² dt = t³/3, ∫ 2t dt = t², ∫ 3 dt = 3t, ∫ 6/(t+2) dt = 6 ln|t+2|. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

\frac{1}{2} [_{0}^{1} \frac{t^{3}}{3} - t^{2} + 3 t - 6 ln | t + 2 |

Шаг 8

Подставляем пределы t = 1 и t = 0. После упрощения получаем ответ.

Ответ

$\frac{7}{6} - 3 ln \frac{3}{2}$

Частые вопросы

Как вычислить интеграл с квадратным корнем в знаменателе?

Если подынтегральная функция содержит √(ax+b), применяют замену t = √(ax+b). Тогда t² = ax+b, x = (t²−b)/a, dx = (2t/a) dt. Это устраняет корень и превращает интеграл в рациональную функцию, которую затем интегрируют выделением целой части и разложением на простейшие.

Как найти новые пределы интегрирования?

Нужно подставить старые пределы по x в выражение t = √(2x+1). Для нижнего предела x = −1/2: t = √0 = 0. Для верхнего предела x = 0: t = √1 = 1. Получаем новые пределы [0, 1].

Почему появился логарифм в ответе?

После деления многочлена t³ − t на (t+2) получается остаток −6, и один из интегралов имеет вид ∫ 6/(t+2) dt = 6 ln|t+2|. При подстановке пределов t = 1 и t = 0 получается 6(ln 3 − ln 2) = 6 ln(3/2), что после умножения на 1/2 даёт 3 ln(3/2).

Что делать с иррациональностью вида √(ax²+bx+c)?

Если корень имеет вид √(ax²+bx+c), используют тригонометрические или гиперболические подстановки. Например, для √(a²−x²) — замена x = a sin t, для √(a²+x²) — x = a tg t, для √(x²−a²) — x = a/cos t. В нашем случае корень линейный (√(2x+1)), поэтому достаточно рациональной замены t = √(2x+1).