Определённый интеграл tg³x от 0 до π/3

В этой задаче требуется вычислить определённый интеграл от тангенса в кубе на отрезке [0, π/3].

Условие

$\int_{0}^{π / 3} {tg}^{3} x d x$

Решение

Шаг 1

Представим tg³x через sin и cos:

Почему выражаем тангенс через синус и косинус?

Для нечётных степеней tg x (или ctg x) стандартный приём — выразить тангенс через sin x/cos x. Это позволяет выделить множитель sin x, который можно внести под дифференциал (так как d(cos x) = −sin x dx). Дальнейшая замена t = cos x приводит интеграл к табличному виду.

{tg}^{3} x = \frac{{sin}^{3} x}{{cos}^{3} x}

Шаг 2

Перепишем интеграл:

Как внести sin x под дифференциал?

Мы знаем, что d(cos x) = −sin x dx. Это значит, что sin x dx = −d(cos x). Отделив один множитель sin x в числителе, мы можем заменить sin x dx на −d(cos x). Тогда оставшиеся sin²x и cos³x выражены через cos x (используя основное тригонометрическое тождество), и интеграл берётся как степенной относительно cos x.

\int_{0}^{π / 3} \frac{{sin}^{3} x}{{cos}^{3} x} d x

Шаг 3

Применим основное тригонометрическое тождество sin²x = 1 − cos²x и учтём, что sin x dx = −d(cos x):

{sin}^{2} x = 1 - {cos}^{2} x

\sin x d x = - d (cos x)

Шаг 4

После подстановки получаем:

- \int_{0}^{π / 3} \frac{1 - {cos}^{2} x}{{cos}^{3} x} d (cos x)

Шаг 5

Разобьём на два интеграла:

\int_{0}^{π / 3} (\frac{1}{cos x} - \frac{1}{{cos}^{3} x}) d (cos x)

Шаг 6

Интегрируем: ∫ du/u = ln|u|, ∫ u⁻³ du = u⁻²/(−2) = −1/(2u²). Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

[_{0}^{π / 3} ln | cos x | + \frac{1}{2 {cos}^{2} x}

Шаг 7

Подставляем пределы. cos 0 = 1, cos(π/3) = 1/2. Получаем ответ.

Ответ

$\frac{3}{2} - ln 2$

Частые вопросы

Как вычислить определённый интеграл от tg³x?

Выражаем tg³x = sin³x/cos³x. Отделяем один множитель sin x и вносим его под дифференциал: sin x dx = −d(cos x). Оставшийся sin²x заменяем через 1 − cos²x (основное тригонометрическое тождество). Тогда интеграл сводится к степенному относительно cos x и берётся элементарно.

Почему ответ содержит логарифм?

Потому что при разбиении на два интеграла одно из слагаемых имеет вид ∫ du/u, а этот интеграл равен ln|u| + C. В нашем случае u = cos x, поэтому появляется ln|cos x|.

Что делать с нечётными степенями тангенса в общем случае?

Стандартный приём: tg^(2n+1)x = tg^(2n−1)x · tg²x = tg^(2n−1)x · (1/cos²x − 1). Альтернативно: tg^(2n+1)x = sin^(2n+1)x / cos^(2n+1)x. Отделяем один sin x и вносим его под дифференциал, как в этой задаче. Тогда оставшийся sin^(2n)x выражаем через cos²x с помощью основного тригонометрического тождества.

Почему пределы интегрирования не меняются при замене?

Мы не делали явную замену переменной — просто внесли sin x dx под дифференциал как −d(cos x). Пределы по x остаются прежними: от 0 до π/3. Когда мы подставляем их в выражение через cos x, мы вычисляем cos 0 = 1 и cos(π/3) = 1/2.