Определённый интеграл x/(x²−4x+4) от 3 до 4

В этой задаче требуется вычислить определённый интеграл от дробно-рациональной функции с кратным корнем знаменателя.

Условие

$\int_{3}^{4} \frac{x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Решение

Шаг 1

Знаменатель представляет собой полный квадрат:

Почему знаменатель имеет кратный корень?

Дискриминант квадратного трёхчлена x² − 4x + 4 равен нулю: D = 16 − 16 = 0. Это значит, что трёхчлен имеет единственный (двукратный) корень x = 2, и знаменатель раскладывается как (x − 2)². В таком случае говорят о кратном корне, и разложение на простейшие имеет свои особенности.

x^{2} - 4 x + 4 = {(x - 2)}^{2}

Шаг 2

Так как знаменатель имеет кратный корень, разложение на простейшие имеет вид:

Как разложить на простейшие при кратном корне?

Если линейный множитель (x − a) повторяется k раз, ему соответствует сумма k простейших дробей с этим знаменателем в разных степенях: A₁/(x − a) + A₂/(x − a)² + … + Aₖ/(x − a)ᵏ. В нашем случае знаменатель имеет вид (x − 2)², поэтому разложение: A/(x − 2) + B/(x − 2)².

\frac{x}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}}

Шаг 3

Приведём к общему знаменателю и приравняем числители:

A (x - 2) + B = x

Отсюда получаем A = 1, B = 2.

Шаг 4

Подставим разложение в интеграл:

\int_{3}^{4} (\frac{1}{x - 2} + \frac{2}{{(x - 2)}^{2}}) d x

Шаг 5

Интегрируем: ∫ 1/(x − 2) dx = ln|x − 2|, ∫ 2/(x − 2)² dx = −2/(x − 2). Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

[_{3}^{4} ln | x - 2 | - \frac{2}{x - 2}

Шаг 6

Подставляем пределы интегрирования. Получаем ответ.

Ответ

$1 + ln 2$

Частые вопросы

Что такое кратный корень знаменателя?

Это когда квадратный трёхчлен (или его множитель) имеет дискриминант, равный нулю, и его можно записать как (x − a)². В этом случае корень x = a называется двукратным (или корнем кратности 2). При разложении на простейшие кратный корень требует не одной, а нескольких дробей с возрастающими степенями.

Почему в разложении появляется два слагаемых?

Потому что знаменатель (x − 2)² — кратный корень. Каждый множитель в знаменателе даёт простейшую дробь, и если множитель повторяется k раз, ему соответствует k простейших дробей со знаменателями (x − 2), (x − 2)², …, (x − 2)ᵏ. В нашем случае k = 2.

Как найти коэффициенты A и B?

Методом неопределённых коэффициентов. Приравниваем числители после приведения к общему знаменателю: A(x − 2) + B = x. Приравнивая коэффициенты при x и свободные члены: A = 1, −2A + B = 0, откуда A = 1, B = 2. Либо подставляем x = 2 (корень знаменателя) — получаем B = 2, затем x = 0 — получаем −2A + 2 = 0, A = 1.

Почему интеграл от 2/(x − 2)² не содержит логарифма?

Потому что ∫ (x − 2)⁻² dx = −(x − 2)⁻¹ = −1/(x − 2). Степень x − 2 не равна −1, поэтому формула ∫ uⁿ du = uⁿ⁺¹/(n + 1) даёт рациональный результат без логарифма. Логарифм появляется только при n = −1.