Несобственный интеграл (1+√x+x+x²)/(x²+x³+14) от 1 до ∞
В этой задаче требуется исследовать на сходимость несобственный интеграл 1-го рода с бесконечным верхним пределом.
Условие
Решение
Шаг 1
Подынтегральная функция непрерывна на [1, +∞): многочлен x² + x³ + 14 имеет только положительные коэффициенты, поэтому не обращается в нуль при x ≥ 1. Интеграл — несобственный 1-го рода.
Почему знаменатель не обращается в нуль?
Многочлен x² + x³ + 14 при x ≥ 1 принимает только положительные значения. Все его коэффициенты положительны (1, 1, 0, 14), поэтому при x ≥ 1 каждое слагаемое положительно. Значит, знаменатель нигде не обращается в нуль на [1, +∞), и подынтегральная функция непрерывна.
Шаг 2
При x → +∞ числитель 1 + √x + x + x² ведёт себя как x² (наибольшая степень), а знаменатель x² + x³ + 14 — как x³. Поэтому f(x) эквивалентна 1/x:
Как найти эквивалентную функцию?
Эквивалентность при x → +∞ определяется главными членами числителя и знаменателя. Главный член числителя — старшая степень x, то есть x². Главный член знаменателя — x³. Отношение главных членов x²/x³ = 1/x определяет поведение функции на бесконечности.
Шаг 3
Проверим предельным признаком сравнения:
Шаг 4
Интеграл от функции сравнения g(x) = 1/x:
Шаг 5
Гармонический интеграл ∫₁⁺∞ dx/x расходится (эталонный интеграл ∫₁⁺∞ dx/xᵅ при α = 1). По признаку сравнения в предельной форме, если lim f(x)/g(x) = c, 0 < c < ∞, то интегралы ∫ f и ∫ g сходятся или расходятся одновременно. Значит, исходный интеграл расходится.
Ответ
Расходится.
Частые вопросы
Как определить сходимость несобственного интеграла от рациональной функции?
Сравнивают степени числителя и знаменателя. Если степень числителя меньше степени знаменателя как минимум на 2, интеграл сходится. Если степень числителя на 1 меньше степени знаменателя (разность 1), интеграл ведёт себя как гармонический ∫ dx/x и расходится. Если степень числителя ≥ степени знаменателя, интеграл расходится.
Что такое гармонический интеграл и почему он расходится?
Гармонический интеграл — это ∫₁⁺∞ dx/x. Он расходится, хотя подынтегральная функция стремится к нулю. Доказательство: ∫₁ᴺ dx/x = ln N → +∞ при N → +∞. Это эталонный расходящийся несобственный интеграл 1-го рода.
Что делать, если подынтегральная функция — дробь с корнями?
При наличии корней нужно учитывать их асимптотику при x → +∞. Например, √x = x^(1/2), что меньше любой положительной степени x. В нашем случае √x не влияет на главный член числителя (x² доминирует), но в других задачах может быть наоборот — тогда эквивалентная функция изменится.
В чём отличие признака сравнения в предельной форме от признака сравнения в форме неравенств?
В форме неравенств нужно доказать, что f(x) ≤ C·g(x) для всех достаточно больших x. В предельной форме достаточно вычислить lim f(x)/g(x) = c (0 < c < ∞). Предельная форма удобнее, так как не требует оценки на всём промежутке. Она применима и при более сложной структуре подынтегральной функции.
