如何求 f(x) = x · sin 2x 的原函数？

使用分部积分法 ∫ u dv = uv − ∫ v du。取 u = x（多项式微分后降次），dv = sin 2x dx（容易积分到 −(1/2)·cos 2x）。

为什么 v = −(1/2)·cos 2x，而不是 −cos 2x？

因为 ∫ sin 2x dx = −(1/2)·cos 2x。验证：−(1/2)·cos 2x 的导数为 (1/2)·2·sin 2x = sin 2x。因子 1/2 来自正弦内 x 的系数。

为什么本题中 C = 0？

由条件 F(0) = 0 得到。当 x = 0 时：sin 0 = 0，因此 F(0) = 0 − 0 + C = 0，从而 C = 0。

什么情况下使用分部积分法？

当被积表达式是不同类型函数的乘积时：多项式 × 指数函数、多项式 × 三角函数、指数函数 × 三角函数、对数、反三角函数。经典特征是：积分不能直接求出，但应用公式 ∫ u dv = uv − ∫ v du 后可以简化。

f(x) = x · sin 2x 的原函数

本题要求求出函数 f(x) = x · sin 2x 的原函数 F(x)，并满足条件 F(0) = 0。

题目

$f (x) = x \cdot sin 2 x, F (0) = 0$

解答

步骤 1

被积表达式 x · sin 2x 是多项式与三角函数的乘积。这类积分使用分部积分法求解。

步骤 2

将被积表达式 x · sin 2x dx 分为两部分：u = x 和 dv = sin 2x dx。此时 du = dx，v 通过对 dv 积分得到：v = −(1/2)·cos 2x。

为什么选择分部积分法？

被积表达式是多项式 (x) 与三角函数 (sin 2x) 的乘积。换元法和表格公式在此都不适用。分部积分法专门用于此类积分。其思想是：通过对多项式微分来降低其次数，使积分逐步简化为表格形式。

为什么取 u = x，而不是 u = sin 2x？

在分部积分中，u 选择微分后简化的函数。如果取 u = x，则 du = dx——多项式降次。如果取 u = sin 2x，则 du = 2cos 2x dx——三角函数微分后并未简化，仍同样复杂。根据 LIATE 规则（对数、反三角函数、代数函数、三角函数、指数函数），多项式在三角函数之前，因此取 u = x。

为什么 dv = sin 2x dx，而不是简单的 sin 2x？

分部积分公式为 ∫ u dv = uv − ∫ v du。这里 dv 是函数 v 的微分，根据微分的定义 dv = v′(x) dx。没有 dx 就不是微分，而只是一个函数。乘积 u · dv = x · sin 2x dx 等于原被积表达式。

u = x, d u = d x

d v = sin 2 x d x, v = - \frac{1}{2} cos 2 x

步骤 3

代入分部积分公式：

\int x \cdot sin 2 x d x = - \frac{x \cdot cos 2 x}{2} + \frac{1}{2} \int cos 2 x d x

步骤 4

计算剩余的积分 ∫ cos 2x dx = (1/2)·sin 2x，得到一般表达式：

F (x) = - \frac{x \cdot cos 2 x}{2} + \frac{sin 2 x}{4} + C

步骤 5

从条件 F(0) = 0 求出常数 C。sin 0 = 0，因此：

F (0) = 0 + \frac{sin 0}{4} + C = 0

步骤 6

由此 C = 0。所求的原函数为：

答案

$F (x) = - \frac{x \cdot cos 2 x}{2} + \frac{sin 2 x}{4}$