如何求 f(x) = arcsin 2x 的原函数？

使用分部积分法 ∫ u dv = uv − ∫ v du。取 u = arcsin 2x（反三角函数，微分后简化），dv = dx（则 v = x）。

为什么 du = 2/√(1−4x²) dx？

根据复合函数求导法则：(arcsin u)′ = u′/√(1−u²)。这里 u = 2x，所以 u′ = 2，(2x)² = 4x²。因此 du = 2/√(1−4x²) dx。

如何计算积分 ∫ 2x/√(1−4x²) dx？

注意到 d(1−4x²) = −8x dx，所以 2x dx = −(1/4) d(1−4x²)。积分化为 −(1/4) ∫ dt/√t，其中 t = 1−4x²。表格积分 ∫ dt/√t = 2√t。因此得到 −(1/2)·√(1−4x²)。

为什么本题中 C = −1/2？

由条件 F(0) = 0 得到。当 x = 0 时：arcsin 0 = 0，√(1−0) = 1，因此 F(0) = 0 + 1/2 + C = 0，从而 C = −1/2。

f(x) = arcsin 2x 的原函数

本题要求求出函数 f(x) = arcsin 2x 的原函数 F(x)，并满足条件 F(0) = 0。

题目

$f (x) = arcsin 2 x, F (0) = 0$

解答

步骤 1

被积表达式 arcsin 2x 是反三角函数。这类积分使用分部积分法求解。

步骤 2

将被积表达式 arcsin 2x dx 分为两部分：u = arcsin 2x 和 dv = dx。此时 du = 2/√(1−4x²) dx，v = x。

为什么选择分部积分法？

被积表达式包含反三角函数 arcsin 2x，它没有表格形式的原函数。换元法和表格公式在此都不适用。分部积分法专门用于此类积分：对 arcsin 2x 微分后得到一个简单的含根号的有理函数，其积分可以轻易求出。

为什么取 u = arcsin 2x，而不是 u = 1？

在分部积分中，u 选择微分后简化的函数，dv 选择容易积分的部分。如果取 u = arcsin 2x，则 du = 2/√(1−4x²) dx——出现根号，但剩余积分化为表格形式 ∫ du/√u。如果取 u = 1、dv = arcsin 2x dx，就必须先求出 arcsin 2x 的原函数——也就是要解决同一个问题。根据 LIATE 规则（对数、反三角函数、代数函数、三角函数、指数函数），反三角函数在常数之前，因此取 u = arcsin 2x。

为什么 dv = dx，而不是简单的 1？

分部积分公式为 ∫ u dv = uv − ∫ v du。这里 dv 是函数 v 的微分，根据微分的定义 dv = v′(x) dx。本题中 dv = dx，因此 v = x。如果取「dv = 1」而没有 dx，则乘积 u · dv = arcsin 2x · 1 = arcsin 2x——没有因子 dx，不是微分。

u = arcsin 2 x, d u = \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x

d v = d x, v = x

步骤 3

代入分部积分公式：

\int arcsin 2 x d x = x \cdot arcsin 2 x - \int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x

步骤 4

为计算剩余的积分，将因子 2x 移到微分号内。注意到 d(1−4x²) = −8x dx，因此 2x dx = −(1/4) d(1−4x²)。此时积分化为表格形式：

\int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x = - \frac{1}{4} \int \frac{d (1 - 4 x^{2})}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = - \frac{1}{2} \sqrt{1 - 4 x^{2}}

步骤 5

因此，原函数的一般表达式为：

F (x) = x \cdot arcsin 2 x + \frac{1}{2} \sqrt{1 - 4 x^{2}} + C

步骤 6

从条件 F(0) = 0 求出常数 C。当 x = 0 时：arcsin 0 = 0，√(1−0) = 1，因此：

F (0) = 0 + \frac{1}{2} \sqrt{1} + C = 0

步骤 7

由此 C = −1/2。所求的原函数为：

答案

$F (x) = x \cdot arcsin 2 x + \frac{1}{2} \sqrt{1 - 4 x^{2}} - \frac{1}{2}$