从 −1/2 到 0 的 x/(2+√(2x+1)) 定积分

本题要求计算无理函数在区间 [−1/2, 0] 上的定积分。

题目

$\int_{- 1 / 2}^{0} \frac{x}{2 + \sqrt{2 x + 1}} d x$

解答

步骤 1

被积表达式含平方根。作换元 t = √(2x+1)。此时 t² = 2x + 1，因此 x = (t²−1)/2，dx = t dt：

为什么选择换元 t = √(2x+1)？

如果被积表达式含有 √(ax+b)，标准换元 t = √(ax+b) 可以消除无理式。平方后得 t² = ax+b，从而 x 用 t 的有理函数表示，dx = t dt 也不含根号。于是积分化为有理函数的积分，可用标准方法求解。

t = \sqrt{2 x + 1}, t^{2} = 2 x + 1, x = \frac{t^{2} - 1}{2}, d x = t d t

步骤 2

求新的积分上下限：

x = - \frac{1}{2} \Rightarrow t = 0, x = 0 \Rightarrow t = 1

步骤 3

将换元代入积分：

\int_{0}^{1} \frac{t^{2} - 1}{2} \cdot \frac{1}{2 + t} \cdot t d t

步骤 4

提取因子 1/2，将被积表达式化为有理分式：

为什么要做多项式除法？

被积表达式形如 t(t²−1)/(t+2)——有理分式。分子次数 (3) 大于分母次数 (1)，因此是假分式。为便于积分，需提取整式部分，用分子除以分母：t(t²−1) = (t+2)(t²−2t+3) − 6。于是积分分解为简单项之和以及一个部分分式 6/(t+2)。

\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{t (t^{2} - 1)}{t + 2} d t

步骤 5

用 (t+2) 除分子 t(t²−1) = t³ − t：

\frac{t (t^{2} - 1)}{t + 2} = t^{2} - 2 t + 3 - \frac{6}{t + 2}

步骤 6

将分解式代入积分：

\frac{1}{2} \int_{0}^{1} (t^{2} - 2 t + 3 - \frac{6}{t + 2}) d t

步骤 7

逐项积分：∫ t² dt = t³/3，∫ 2t dt = t²，∫ 3 dt = 3t，∫ 6/(t+2) dt = 6 ln|t+2|。应用牛顿-莱布尼茨公式：

\frac{1}{2} [_{0}^{1} \frac{t^{3}}{3} - t^{2} + 3 t - 6 ln | t + 2 |

步骤 8

代入上下限 t = 1 和 t = 0。化简后得到答案。

答案

$\frac{7}{6} - 3 ln \frac{3}{2}$

常见问题

如何计算分母含平方根的积分？

如果被积表达式含有 √(ax+b)，作换元 t = √(ax+b)。此时 t² = ax+b，x = (t²−b)/a，dx = (2t/a) dt。这消除了根号并将积分化为有理函数，然后再通过提取整式部分和部分分式分解来积分。

如何求新的积分上下限？

将旧的 x 上下限代入 t = √(2x+1)。对于下限 x = −1/2：t = √0 = 0。对于上限 x = 0：t = √1 = 1。得到新上下限 [0, 1]。

为什么答案中出现对数？

用 (t+2) 除多项式 t³ − t 后，余数为 −6，其中一个积分形如 ∫ 6/(t+2) dt = 6 ln|t+2|。代入上下限 t = 1 和 t = 0 得到 6(ln 3 − ln 2) = 6 ln(3/2)，再乘以 1/2 得 3 ln(3/2)。

如何处理形如 √(ax²+bx+c) 的无理式？

如果根号形如 √(ax²+bx+c)，使用三角或双曲换元。例如对于 √(a²−x²)——换元 x = a sin t；对于 √(a²+x²)——x = a tg t；对于 √(x²−a²)——x = a/cos t。本题中根号是一次式 (√(2x+1))，因此有理换元 t = √(2x+1) 即可。