从 0 到 π/3 的 tg³x 定积分

本题要求计算正切立方在区间 [0, π/3] 上的定积分。

题目

$\int_{0}^{π / 3} {tg}^{3} x d x$

解答

步骤 1

将 tg³x 表示为 sin 和 cos：

为什么把正切表示为正弦和余弦？

对于 tg x（或 ctg x）的奇数次幂，标准技巧是把正切表示为 sin x/cos x。这样可以分离出因子 sin x，将其移到微分号内（因为 d(cos x) = −sin x dx）。随后的换元 t = cos x 将积分化为表格形式。

{tg}^{3} x = \frac{{sin}^{3} x}{{cos}^{3} x}

步骤 2

改写积分：

如何将 sin x 移到微分号内？

我们知道 d(cos x) = −sin x dx。因此 sin x dx = −d(cos x)。在分子中分离出一个因子 sin x 后，可以将 sin x dx 替换为 −d(cos x)。此时剩余的 sin²x 和 cos³x 用 cos x 表示（利用基本三角恒等式），积分就化为关于 cos x 的幂次形式。

\int_{0}^{π / 3} \frac{{sin}^{3} x}{{cos}^{3} x} d x

步骤 3

应用基本三角恒等式 sin²x = 1 − cos²x，并注意 sin x dx = −d(cos x)：

{sin}^{2} x = 1 - {cos}^{2} x

\sin x d x = - d (cos x)

步骤 4

代入后得到：

- \int_{0}^{π / 3} \frac{1 - {cos}^{2} x}{{cos}^{3} x} d (cos x)

步骤 5

拆分为两个积分：

\int_{0}^{π / 3} (\frac{1}{cos x} - \frac{1}{{cos}^{3} x}) d (cos x)

步骤 6

积分：∫ du/u = ln|u|，∫ u⁻³ du = u⁻²/(−2) = −1/(2u²)。应用牛顿-莱布尼茨公式：

[_{0}^{π / 3} ln | cos x | + \frac{1}{2 {cos}^{2} x}

步骤 7

代入上下限。cos 0 = 1，cos(π/3) = 1/2。得到答案。

答案

$\frac{3}{2} - ln 2$

常见问题

如何计算 tg³x 的定积分？

将 tg³x 表示为 sin³x/cos³x。分离出一个因子 sin x 并移到微分号内：sin x dx = −d(cos x)。将剩余的 sin²x 用 1 − cos²x 替换（基本三角恒等式）。此时积分化为关于 cos x 的幂次形式，可以轻易求出。

为什么答案中会出现对数？

因为在拆分为两个积分时，其中一项形如 ∫ du/u，该积分等于 ln|u| + C。本题中 u = cos x，因此出现 ln|cos x|。

一般情况下如何处理正切的奇数次幂？

标准技巧：tg^(2n+1)x = tg^(2n−1)x · tg²x = tg^(2n−1)x · (1/cos²x − 1)。或者：tg^(2n+1)x = sin^(2n+1)x / cos^(2n+1)x。分离出一个 sin x 并移到微分号内，如本题。然后用基本三角恒等式将剩余的 sin^(2n)x 用 cos²x 表示。

为什么换元时积分上下限不变？

我们没有做显式的变量替换——只是把 sin x dx 作为 −d(cos x) 移到微分号内。x 的上下限保持不变：从 0 到 π/3。当我们把它们代入用 cos x 表示的表达式时，我们计算 cos 0 = 1 和 cos(π/3) = 1/2。