从 0 到 1 的 sin³x·cos²x 定积分

本题要求计算正弦立方与余弦平方之积在区间 [0, 1] 上的定积分。

题目

$\int_{0}^{1} {sin}^{3} x {cos}^{2} x d x$

解答

步骤 1

注意到 sin³x = sin²x · sin x。这样可以分离出一个因子 sin x，将其移到微分号内。

为什么分离 sin x？

被积表达式 sin³x·cos²x 包含正弦的奇数次幂 (3) 和余弦的偶数次幂 (2)。标准技巧：当一个函数为奇数次幂、另一个为任意次幂时，分离出奇数次幂函数的一个因子，将其移到微分号内。本题中分离 sin x，因为 d(cos x) = −sin x dx。剩余的 sin²x 用基本三角恒等式表示为 cos²x。

{sin}^{3} x = {sin}^{2} x \cdot sin x

步骤 2

改写积分，分离出一个因子 sin x：

为什么需要基本三角恒等式？

分离出一个 sin x 后，剩下 sin²x · cos²x · sin x dx。我们将因子 sin x dx 替换为 −d(cos x)，但 sin²x 仍用 sin x 表示。为使积分只含 cos x，使用恒等式 sin²x = 1 − cos²x。此时整个表达式成为 cos x 的函数，积分化为幂次形式。

\int_{0}^{1} {sin}^{2} x \cdot {cos}^{2} x sin x d x

步骤 3

应用基本三角恒等式 sin²x = 1 − cos²x，并注意 sin x dx = −d(cos x)：

{sin}^{2} x = 1 - {cos}^{2} x

sin x d x = - d (cos x)

步骤 4

作换元 t = cos x 后，积分形式为：

- \int_{0}^{1} (1 - {cos}^{2} x) {cos}^{2} x d (cos x)

步骤 5

展开括号：

- \int_{0}^{1} ({cos}^{4} x - {cos}^{2} x) d (cos x)

步骤 6

作为幂函数积分，并应用牛顿-莱布尼茨公式：

[_{0}^{1} \frac{{cos}^{3} x}{3} - \frac{{cos}^{5} x}{5}

步骤 7

代入上下限。注意到 cos 0 = 1，cos 1 ≈ 0.5403。得到答案。

答案

$\frac{2}{15}$

常见问题

如何计算 sin³x·cos²x 的定积分？

分离出一个因子 sin x：sin³x = sin²x · sin x。将 sin x 移到微分号内：sin x dx = −d(cos x)。将剩余的 sin²x 替换为 1 − cos²x。此时积分化为关于 cos x 的幂次积分。

为什么分离 sin x，而不是 cos x？

正弦的幂为奇数 (3)，余弦的幂为偶数 (2)。标准规则：如果其中一个函数为奇数次幂，分离其一个因子并移到微分号内。本题中 sin x dx = −d(cos x) 较为方便，因为剩余的 sin²x 容易用 cos x 表示。如果余弦的幂为奇数，则应分离 cos x。

为什么答案是代数式而非三角函数式？

因为换元 t = cos x 后，我们得到幂函数 tⁿ 的积分，即 t^(n+1)/(n+1)。原函数用 cos x 的幂表示，代入上下限 (cos 0 = 1，cos 1 ≈ 0.5403) 后得到数值。通常答案含 cos 1 的分数次幂，但在标准题目中当上限为 π/2 或 π 时，答案为整数或有理数。

如果两个幂都是偶数怎么办？

如果两个幂都是偶数，使用降幂公式：sin²x = (1 − cos 2x)/2，cos²x = (1 + cos 2x)/2。反复应用，直到得到可直接积分的项。这是形如 ∫ sin^(2n)x cos^(2m)x dx 的积分的标准技巧。