从 2 到 5 的 1/(x²−4x+13) 定积分

需要配方：x² + px + q = (x + p/2)² + (q − p²/4)。如果 q − p²/4 > 0，则得到平方与正数之和，积分化为表格形式 ∫ du/(u² + a²) = (1/a)·arctg(u/a) + C。

本题要求计算分母无实根的有理函数的定积分。

题目

$\int_{2}^{5} \frac{1}{x^{2} - 4 x + 13} d x$

分母配方：

为什么配方？

二次三项式 x² − 4x + 13 的判别式为负：D = 16 − 52 = −36 < 0。因此它没有实根，不能分解为一次因式。此时唯一的积分方法是配方，将积分化为表格形式 ∫ du/(u² + a²) = (1/a)·arctg(u/a) + C。

x^{2} - 4 x + 13 = {(x - 2)}^{2} + 9 = {(x - 2)}^{2} + 3^{2}

作换元 u = x − 2。此时 du = d(x − 2) = dx，积分化为表格形式：

如何化为表格积分？

表格积分为 ∫ du/(u² + a²) = (1/a)·arctg(u/a) + C。配方后分母形式为 u² + 3²，其中 u = x − 2，a = 3。因此作换元 u = x − 2，得到表格积分。

\int_{2}^{5} \frac{d (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} + 3^{2}}

应用表格公式：

\frac{1}{3} [_{2}^{5} arctg \frac{x - 2}{3}

代入积分上下限。注意到 arctg 1 = π/4，arctg 0 = 0：

\frac{1}{3} (arctg 1 - arctg 0) = \frac{1}{3} \cdot \frac{π}{4} = \frac{π}{12}

$\frac{π}{12}$

常见问题

如果分母无实根怎么办？

需要配方：x² + px + q = (x + p/2)² + (q − p²/4)。如果 q − p²/4 > 0，则得到平方与正数之和，积分化为表格形式 ∫ du/(u² + a²) = (1/a)·arctg(u/a) + C。

为什么会出现反正切？

因为反正切的导数为 1/(1 + x²)。换元 u/a = t 后，得到形如 ∫ dt/(1 + t²) = arctg t + C 的积分。这是标准表格积分。

如何在 x²−4x+13 中配方？

取 x 的系数 (−4)，除以 2 得 −2。其平方为 4。则 x² − 4x + 13 = (x² − 4x + 4) − 4 + 13 = (x − 2)² + 9。验证：展开 (x − 2)² + 9 得 x² − 4x + 4 + 9 = x² − 4x + 13。

为什么答案含 π？

因为 arctg 1 = π/4，arctg 0 = 0。代入上下限后得 (1/3)·(π/4 − 0) = π/12。这是反正切类积分中上限给出 arctg 1 时的典型结果。