从 3 到 4 的 x/(x²−4x+4) 定积分

本题要求计算分母有重根的有理函数的定积分。

题目

$\int_{3}^{4} \frac{x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

分母是完全平方：

为什么分母有重根？

二次三项式 x² − 4x + 4 的判别式为零：D = 16 − 16 = 0。这意味着该二次式有唯一（二重）根 x = 2，分母分解为 (x − 2)²。此时称根为重复的（重的），部分分式分解有其特殊性。

x^{2} - 4 x + 4 = {(x - 2)}^{2}

由于分母有重根，部分分式分解形式为：

重根情况下如何分解为部分分式？

如果一次因式 (x − a) 重复 k 次，则对应 k 个部分分式之和，分母分别为不同次幂：A₁/(x − a) + A₂/(x − a)² + … + Aₖ/(x − a)ᵏ。本题分母为 (x − 2)²，因此分解为 A/(x − 2) + B/(x − 2)²。

\frac{x}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}}

通分并令分子相等：

A (x - 2) + B = x

由此得到 A = 1，B = 2。

将分解式代入积分：

\int_{3}^{4} (\frac{1}{x - 2} + \frac{2}{{(x - 2)}^{2}}) d x

积分：∫ 1/(x − 2) dx = ln|x − 2|，∫ 2/(x − 2)² dx = −2/(x − 2)。应用牛顿-莱布尼茨公式：

[_{3}^{4} ln | x - 2 | - \frac{2}{x - 2}

代入积分上下限。得到答案。

$1 + ln 2$

常见问题

什么是分母的重根？

这是指二次三项式（或其因式）的判别式等于零，可以写成 (x − a)²。此时根 x = a 称为二重根（或二重零点）。在部分分式分解中，重根需要不止一个分式，而是具有递增次幂的多个分式。

为什么分解中出现两个项？

因为分母 (x − 2)² 是重根。分母中每个因式对应一个部分分式，若因式重复 k 次，则对应 k 个分母分别为 (x − 2)、(x − 2)²、…、(x − 2)ᵏ 的部分分式。本题中 k = 2。

如何求系数 A 和 B？

使用待定系数法。通分后令分子相等：A(x − 2) + B = x。令 x 的系数和常数项分别相等：A = 1，−2A + B = 0，从而 A = 1，B = 2。另一种方法是代入 x = 2（分母的根）——得到 B = 2，再代入 x = 0——得到 −2A + 2 = 0，A = 1。

为什么 2/(x − 2)² 的积分不含对数？

因为 ∫ (x − 2)⁻² dx = −(x − 2)⁻¹ = −1/(x − 2)。x − 2 的幂不等于 −1，因此公式 ∫ uⁿ du = uⁿ⁺¹/(n + 1) 给出有理结果，不含对数。只有当 n = −1 时才出现对数。