从 −1 到 0 的 (2x²−1)/(x²−3x+2) 定积分

本题要求计算有理函数在区间 [−1, 0] 上的定积分。

题目

$\int_{- 1}^{0} \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 3 x + 2} d x$

解答

步骤 1

首先注意到被积函数是假分式：分子次数 (2) 等于分母次数 (2)。通过用分母除分子提取整式部分：

为什么要提取整式部分？

有理分式 P(x)/Q(x) 当分子次数小于分母次数时称为真分式，否则称为假分式。积分时更方便使用真分式——此时可以分解为部分分式。如果分式是假分式，先提取整式部分（多项式），将余数化为真分式。

\frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 3 x + 2} = 2 + \frac{6 x - 5}{x^{2} - 3 x + 2}

步骤 2

分母分解为：x² − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1)。将真分式分解为部分分式：

如何将真分式分解为部分分式？

分母中每个一次因式 (x − a) 对应一个形如 A/(x − a) 的部分分式。如果因式重复 k 次，则对应 k 个分式：A₁/(x − a) + A₂/(x − a)² + … + Aₖ/(x − a)ᵏ。本题分母有两个不同的一次因式——(x − 2) 和 (x − 1)，因此分解形式为 A/(x − 2) + B/(x − 1)。

如何求系数 A 和 B？

使用待定系数法。将部分分式之和通分，令分子相等。得到恒等式 A(x−1) + B(x−2) = 6x − 5。令 x 的同次幂系数相等，得到关于 A 和 B 的线性方程组。解得 A = 7，B = −1。

\frac{6 x - 5}{(x - 2) (x - 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 1}

步骤 3

展开括号并令 x 的同次幂系数相等。得到方程组：

A (x - 1) + B (x - 2) = 6 x - 5

{\begin{matrix} A + B = 6 \\ - A - 2 B = - 5 \end{matrix}

解方程组，得：A = 7，B = −1。

步骤 4

将分解式代入积分：

\int_{- 1}^{0} (2 + \frac{7}{x - 2} - \frac{1}{x - 1}) d x

步骤 5

逐项积分并应用牛顿-莱布尼茨公式：

[_{- 1}^{0} 2 x + 7 ln | x - 2 | - ln | x - 1 |

步骤 6

代入积分上下限。得到答案。

答案

$2 - 7 ln 3 + 8 ln 2$

常见问题

如何计算有理函数的定积分？

需要：(1) 如果分式是假分式——提取整式部分；(2) 将分母分解为因式；(3) 将真分式分解为部分分式；(4) 用待定系数法求系数；(5) 逐项积分；(6) 按牛顿-莱布尼茨公式代入积分上下限。

什么是待定系数法？

这是一种求真分式部分分式分解中系数 A、B、C… 的方法。其思想是：将部分分式之和通分，令分子相等，然后令 x 的同次幂系数相等，得到关于未知系数的线性方程组。另一种方法是将 x 的具体值（例如分母的根）代入恒等式，通常更快。

为什么答案中会出现对数？

因为分解为部分分式后，我们得到形如 ∫ A/(x − a) dx = A ln|x − a| + C 的积分。这是积分分母含有一次因式的有理函数时的标准情形。

如果分母有重根怎么办？

如果一次因式 (x − a) 重复 k 次，则对应 k 个部分分式之和：A₁/(x − a) + A₂/(x − a)² + … + Aₖ/(x − a)ᵏ。例如对于 (x − 2)²，分解为 A/(x − 2) + B/(x − 2)²。下一题展示了这一点。