从 1 到 ∞ 的 (1+√x+x+x²)/(x²+x³+14) 广义积分

比较分子和分母的次数。若分子次数比分母次数至少小 2，则积分收敛。若分子次数比分母次数小 1（差为 1），积分表现为调和积分 ∫ dx/x 并发散。若分子次数 ≥ 分母次数，积分发散。

调和积分是 ∫₁⁺∞ dx/x。尽管被积函数趋于零，它仍发散。证明：∫₁ᴺ dx/x = ln N → +∞（当 N → +∞）。这是第一类广义积分的基准发散积分。

含根号时需要考虑它们在 x → +∞ 时的渐近性。例如 √x = x^(1/2)，小于任何正的 x 幂。本题中 √x 不影响分子的主项（x² 占主导），但在其他题目中可能相反——此时等价函数会改变。

不等式形式需要证明对所有充分大的 x 有 f(x) ≤ C·g(x)。极限形式只需计算 lim f(x)/g(x) = c（0 < c < ∞）。极限形式更方便，因为它不需要在整个区间上给出估计。它对被积函数结构更复杂的情形也适用。

本题要求研究上限为无穷的第一类广义积分的敛散性。

题目

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{1 + \sqrt{x} + x + x^{2}}{x^{2} + x^{3} + 14} d x$

被积函数在 [1, +∞) 上连续：多项式 x² + x³ + 14 的所有系数均为正，因此当 x ≥ 1 时不为零。该积分是第一类广义积分。

为什么分母不为零？

多项式 x² + x³ + 14 在 x ≥ 1 时只取正值。其所有系数均为正 (1, 1, 0, 14)，因此当 x ≥ 1 时每一项都为正。因此分母在 [1, +∞) 上不为零，被积函数连续。

当 x → +∞ 时，分子 1 + √x + x + x² 表现为 x²（最高次幂），分母 x² + x³ + 14 表现为 x³。因此 f(x) 等价于 1/x：

如何求等价函数？

当 x → +∞ 时的等价性由分子和分母的主项决定。分子的主项是 x 的最高次幂，即 x²。分母的主项是 x³。主项之比 x²/x³ = 1/x 决定了函数在无穷远处的行为。

f (x) ~ \frac{x^{2}}{x^{3}} = \frac{1}{x} (x \to + \infty)

用极限比较判别法验证：

lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to + \infty} \frac{(1 + \sqrt{x} + x + x^{2}) \cdot x}{x^{2} + x^{3} + 14} = 1

比较函数 g(x) = 1/x 的积分：

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x}

调和积分 ∫₁⁺∞ dx/x 发散（基准积分 ∫₁⁺∞ dx/xᵅ 当 α = 1 时）。根据极限形式的比较判别法，若 lim f(x)/g(x) = c，0 < c < ∞，则积分 ∫ f 与 ∫ g 同时收敛或同时发散。因此原积分发散。

发散。

常见问题

如何判断有理函数的广义积分的敛散性？

比较分子和分母的次数。若分子次数比分母次数至少小 2，则积分收敛。若分子次数比分母次数小 1（差为 1），积分表现为调和积分 ∫ dx/x 并发散。若分子次数 ≥ 分母次数，积分发散。

什么是调和积分？为什么它发散？

调和积分是 ∫₁⁺∞ dx/x。尽管被积函数趋于零，它仍发散。证明：∫₁ᴺ dx/x = ln N → +∞（当 N → +∞）。这是第一类广义积分的基准发散积分。

如果被积函数是含根号的分式怎么办？

含根号时需要考虑它们在 x → +∞ 时的渐近性。例如 √x = x^(1/2)，小于任何正的 x 幂。本题中 √x 不影响分子的主项（x² 占主导），但在其他题目中可能相反——此时等价函数会改变。

极限形式的比较判别法与不等式形式的比较判别法有何区别？

不等式形式需要证明对所有充分大的 x 有 f(x) ≤ C·g(x)。极限形式只需计算 lim f(x)/g(x) = c（0 < c < ∞）。极限形式更方便，因为它不需要在整个区间上给出估计。它对被积函数结构更复杂的情形也适用。