f(x) = x² sin x³ 的原函数

本题要求求出函数 f(x) = x² sin x³ 的原函数 F(x)，并满足条件 F(0) = 1/2。

题目

$f (x) = x^{2} sin x^{3}, F (0) = \frac{1}{2}$

注意到 x³ 的导数为 3x²。因此，d(x³) = 3x² dx。这样可以把因子 x² 移到微分号内。

d (x^{3}) = 3 x^{2} d x

将原积分改写，并提取因子 1/3：

\int x^{2} sin x^{3} d x = \frac{1}{3} \int sin (x^{3}) d (x^{3})

进行换元 t = x³。此时积分变为表格形式：

\frac{1}{3} \int sin t d t = - \frac{1}{3} cos t + C

回到变量 x：

F (x) = - \frac{1}{3} cos x^{3} + C

现在从初始条件 F(0) = 1/2 求出常数 C。将 x = 0 代入：

- \frac{1}{3} cos 0 + C = \frac{1}{2}

由此得到 C = 5/6。所求的原函数为：

$F (x) = - \frac{1}{3} cos x^{3} + \frac{5}{6}$

常见问题

如何求 f(x) = x² sin x³ 的原函数？

使用换元法。注意到 d(x³) = 3x² dx，因此积分可以改写为 (1/3) ∫ sin(x³) d(x³)。然后令 t = x³，积分化为表格形式 ∫ sin t dt。

为什么需要常数 C？如何求它？

常数 C 出现在不定积分中，因为常数的导数为零。它的值由初始条件确定——例如 F(0) = 1/2。将 x = 0 代入 F(x) 的表达式，解出 C。

为什么本题中换元 t = x³ 方便？

换元 t = x³ 将复杂的积分 ∫ x² sin x³ dx 化为表格形式 ∫ sin t dt。如果不换元，该积分无法用初等函数表示。因子 x² 恰好与 x³ 的导数成比例，这使得换元成为可能。

原函数与不定积分有何区别？

不定积分是所有原函数的集合：∫ f(x) dx = F(x) + C。带有具体 C 值的原函数是该集合中的一个函数。题目要求的是满足初始条件的具体原函数。