f(x) = cos³ x 的原函数

本题要求求出函数 f(x) = cos³ x 的原函数 F(x)，并满足条件 F(π) = 0。

题目

$f (x) = {cos}^{3} x, F (π) = 0$

将 cos³ x 表示为乘积 cos² x · cos x。这样可以分离出因子 cos x，它是 sin x 的导数。

{cos}^{3} x = {cos}^{2} x \cdot cos x

注意到 d(sin x) = cos x dx。这样可以把 cos x 移到微分号内。

d (sin x) = cos x d x

将原积分改写，分离出因子 cos² x，并将 cos x dx 替换为 d(sin x)：

\int {cos}^{3} x d x = \int {cos}^{2} x d (sin x)

应用基本三角恒等式：

{cos}^{2} x = 1 - {sin}^{2} x

将此表达式代入积分：

\int (1 - {sin}^{2} x) d (sin x)

积分分为两个表格积分：∫ dt = t 和 ∫ t² dt = t³/3。回到变量 x，得到：

sin x - \frac{{sin}^{3} x}{3} + C

从条件 F(π) = 0 求出常数 C。将 x = π 代入：sin π = 0，因此：

sin π - \frac{{sin}^{3} π}{3} + C = 0

由此 C = 0。所求的原函数为：

$F (x) = sin x - \frac{{sin}^{3} x}{3}$

常见问题

如何求 f(x) = cos³ x 的原函数？

将 cos³ x 表示为 cos² x · cos x，把 cos x 移到微分号内（因为 d(sin x) = cos x dx），并应用基本三角恒等式 cos² x = 1 − sin² x。此时积分化为表格形式。

为什么需要基本三角恒等式？

它可以把 cos² x 用 sin x 表示：cos² x = 1 − sin² x。这是必要的，因为换元 t = sin x 之后，积分只含变量 t 并成为表格形式。

为什么本题中 C = 0？

由条件 F(π) = 0 得到。当 x = π 时：sin π = 0，sin³ π = 0，因此两项都变为零。所以 C = 0。

积分余弦奇数次幂有什么特殊之处？

对于 cos x（或 sin x）的奇数次幂，使用如下技巧：分离出一个 cos x（或 sin x）因子并移到微分号内，再用基本三角恒等式将剩余的偶次幂用相反函数表示。